学科简介

    数论 (Number Theory) 是一门经典学科, 是数学中最古老最纯粹最优美的一个学科. 不过鲜为人知的还是, 数论同时也是一门应用性极强的应用数学学科, 现代密码学(包括网络和信息安全)和计算机科学的现代进展是基于初等数论知识的. 著名国际数学大师陈省身教授早在1992年精辟地指出“数学中我愿意把数论看着应用数学.”大多数综合大学和师范大学数学系和计算机系都开设初等数论课程.

    初等数论 (Elementary Number Theory), 又称 高等算术(Higher Arithmetic), 是数论的基础分支, 主要用初等方法(算术方法)研究整数的性质和方程(组)的整数解, 主要内容有整数的整除性、不定方程、同余式、二次剩余、原根与指标、连分数等. 中学生数学竞赛, 特别是国际奥林匹克数学竞赛中都有初等数论问题. 我国公元4-5世纪数学名著《孙子算经》载有 物不知其数问题(孙子定理):“三人同行七十稀, 五树梅花廿一枝,七子团圆正月半,除百零五便得知.” 孙子定理在国外被称为 中国剩余定理 (The Chinese Remainder Theorem), 它是数学和计算机科学中应用最为广泛的定理之一. 数论的其它分支有 解析数论、 代数数论和 计算数论等.

   计算数论 (Computational Number Theory) 是计算机科学与传统数论研究相交叉的新分支, 美国数学评论1985年始建分类号11Yxx (我国国家标准和国家奖励办学科代码都是1101780). 美国数学会主办的季刊 Mathematics of Computation  (Math. Comp.) 是这个方向 (也是整个计算数学) 的国际主流刊物. 计算数论不仅成为数论理论研究的手段, 而且更重要的是推进了数论在计算机科学、信息安全和通信等领域的应用. 素性测定 (Primality Testing) 和整数分解 (Factorization) 是计算数论的孪生中心课题, 数学王子高斯在他的天才著怍《数论探讨》一书中就称 其为“重要的有用的.”由于快速计算机的出现和普及和密码学 (RSA公钥密码系统) 等领域的需要, 促进了这个方向的发展, 近三十年来又成为国际数学界和计算机科学界的热点之一. 计算机辅助研究数论著名问题也是计算数论的主要内容.

    近年耒计算数论在发达国家有飞速发展, 但在我国还开展得很不充分。我国著名数学家、清华大学数学系前系主任冯克勤教授在他的大作《代数数论》一书(科学出版社,2000)的结语‘二十世纪的数论 : 皇后和仆人'(第402页)中写道:
“数论和计算机相结合, 形成了计算数论这个新分支,....目前,国际上已形成了相当强大的计算数论研究队伍和实验室....” 

    国内一位数学家在一份书面报告中写道: “整数素性判断算法是计算数论的一个重要研究课题，在理论上和应用上都很有意义。... 计算数论的研究特色是既要研究理论，又要在计算机上进行大量计祘，目前国内能从事这方面研究的人材十分稀少。...”

    安徽师范大学数学系应用数学硕士点于2000年开始招收计算数论方向硕士研究生, 主要课程采用 Springer 出版社的国际研究生系列原版教材,如 GTM84 和 GTM138 等。学生们除了学习理论知识外, 还要熟练掌握 Delhpi-pascal 编程技术, 并参加或协助导师的课题研究.

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